16. Elliptic Functions

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16.1 Introduction to Elliptic Functions and Integrals

Maximaは Jacobiの楕円関数と不完全楕円積分のサポートを含みます。これは、数値評価はもちろんこれらの関数のシンボル操作を含みます。これらの関数の定義とプロパティの多くは Abramowitz and Stegun, 16-17章にあります。可能な限り、そこで与えられた定義と関係を使います。

特に、すべての楕円関数と積分は法 kや率角 \alphaの代わりにパラメータ mを使います。これは、楕円関数のために率角を使うAbramowitz and Stegunと違うところです。以下の関係は真です: m = k^2 and k = \sin(\alpha)

楕円関数と積分は、主としてシンボル計算をサポートするように意図されています。それ故に関数と積分の導関数のほとんどが知られています。しかしながら、もし浮動小数点値を与えたなら浮動小数点の結果を返します。

楕円関数と積分の他の性質のほとんどのサポートはまだ書かれていません。

楕円関数のいくつかの例:

(%i1) jacobi_sn (u, m);
(%o1)                    jacobi_sn(u, m)
(%i2) jacobi_sn (u, 1);
(%o2)                        tanh(u)
(%i3) jacobi_sn (u, 0);
(%o3)                        sin(u)
(%i4) diff (jacobi_sn (u, m), u);
(%o4)            jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)
(%i5) diff (jacobi_sn (u, m), m);
(%o5) jacobi_cn(u, m) jacobi_dn(u, m)

      elliptic_e(asin(jacobi_sn(u, m)), m)
 (u - ------------------------------------)/(2 m)
                     1 - m

            2
   jacobi_cn (u, m) jacobi_sn(u, m)
 + --------------------------------
              2 (1 - m)

楕円積分のいくつかの例:

(%i1) elliptic_f (phi, m);
(%o1)                  elliptic_f(phi, m)
(%i2) elliptic_f (phi, 0);
(%o2)                          phi
(%i3) elliptic_f (phi, 1);
                               phi   %pi
(%o3)                  log(tan(--- + ---))
                                2     4
(%i4) elliptic_e (phi, 1);
(%o4)                       sin(phi)
(%i5) elliptic_e (phi, 0);
(%o5)                          phi
(%i6) elliptic_kc (1/2);
                                     1
(%o6)                    elliptic_kc(-)
                                     2
(%i7) makegamma (%);
                                 2 1
                            gamma (-)
                                   4
(%o7)                      -----------
                           4 sqrt(%pi)
(%i8) diff (elliptic_f (phi, m), phi);
                                1
(%o8)                 ---------------------
                                    2
                      sqrt(1 - m sin (phi))
(%i9) diff (elliptic_f (phi, m), m);
       elliptic_e(phi, m) - (1 - m) elliptic_f(phi, m)
(%o9) (-----------------------------------------------
                              m

                                 cos(phi) sin(phi)
                             - ---------------------)/(2 (1 - m))
                                             2
                               sqrt(1 - m sin (phi))

楕円関数と積分のサポートは、Raymond Toyによって書かれました。 Maximaの配布を管理するGeneral Public License (GPL)の条件のもと置かれています。

16.1 Introduction to Elliptic Functions and Integrals
16.2 Functions and Variables for Elliptic Functions
16.3 Functions and Variables for Elliptic Integrals

16. Elliptic Functions

16.1 Introduction to Elliptic Functions and Integrals

16.2 Functions and Variables for Elliptic Functions

16.3 Functions and Variables for Elliptic Integrals