plotdf (dydx, options…)
plotdf (dvdu, [u,v], options…)
plotdf ([dxdt,cdydt], options…)
plotdf ([dudt,cdvdt], [u,cv], options…)
関数plotdfは、 一階常微分方程式(ODE)や2つの自律 一階
ODE系の方向場(勾配場とも呼ばれる)のプロットを生成します。
たとえコンソールのMaximaセッションから走らせても、plotdfは Xmaximaを必要とします。 XmaximaのTkスクリプトがプロットを生成するためです。 Xmaximaがインストールされていないなら、plotdfは動きません。
dydx, dxdt, dydtは xと yに依存する式です。
dvdu, dudt, dvdtは uと vに依存する式です。
それら 2つの変数に加えて、
parametersオプションで与えられる数値を持つか
(オプション構文法は以下に与えられます)、
slidersオプションで指定される許される値の範囲のパラメータ一式にも、
式は依存するかもしれません。
コマンド内やメニューで選択して、いくつかの他のオプションを与えることができます。
プロット上でクリックしたり、オプション
trajectory_atを使って積分曲線を得ることができます。
directionオプションを使って積分の方向を制御できます。
オプションは、 forward, backward,
bothのいずれかの値を取り得ます。
積分ステップの数はnstepsで与えます。
それぞれの積分ステップで時間増分は、プロットウィンドウのサイズより十分小さい置き換えを生成するように自動的に調整されます。
使われる数値法は可変時間ステップの4次の適応 Runge-Kutta法です。
プロットウィンドウメニュー:
プロットウィンドウのメニューバーは以下の7つのアイコンを持ちます:
X。プロットウィンドウを閉じるのに使えます。
レンチとドライバ。使用中のODEと様々な設定を表示する欄を持つ設定メニューを開きます。 欄 Trajectory atに座標の組を入力して enterキーを押すと、既に表示されたものに加えて新しい積分曲線を表示します。
円に続く2つの矢印。設定メニューで定義された新しい設定で方向場を再プロットし、以前にプロットされた最後の積分曲線だけを再プロットします。
矢印付きハードディスクドライブ。アイコンをクリックした時現れるボックス欄で指定したファイルにプロットのコピーをポストスクリプト形式で保存するのに使います。
プラス記号付き拡大鏡。プロットをズームします。
マイナス記号付き拡大鏡。プロットをズームアウトします。 マウスの右ボタンを押したままマウスを動かすことでプロットを置き換えることができます。
プロットアイコン。最後にプロットされた積分曲線の2つの変数の時間プロットを含む別のウィンドウを開きます。
プロットオプション:
オプションを plotdf自身に与えることもできます。
それぞれは複数の要素のリストです。
それぞれのオプションの最初の要素はオプション名で、残りはオプションに割り当てられる値です。
plotdfが認識するオプションは以下の通りです:
-
nstepsは、積分曲線を計算するのに、独立変数に対して使われる長さ
tstepのステップ回数を定義します。 デフォルト値は 100です。 -
directionは積分曲線を計算する際に従う独立変数の方向を定義します。
可能な値は、
forward―これは増分tstepで独立変数をnsteps回増やします―backward―これは独立変数を減らします― またはboth―これはnsteps回前進、nsteps回後進で拡げた積分曲線に導きます― キーワードrightとleftを、forwardとbackwardの別称として使うことができます。 デフォルト値はbothです。 - tinitialは積分曲線を計算するために使われる変数 tの初期値です。 微分方程式が自律なので、その設定は tの関数として曲線のプロットでだけ現れます。 デフォルト値は 0です。
-
versus_tは独立変数 tの 2つの関数 x,
yとしての積分曲線のプロットを使って二番目のプロットウィンドウを生成するために
使われます。
もし
versus_tが 0と異なる任意の値を与えられたら、 二番目のプロットウィンドウが表示されます。 二番目のプロットウィンドウはメインプロットウィンドウのメニューに似た別のメニューを含みます。 デフォルト値は 0です。 - trajectory_atは積分曲線の開始点のための座標 xinitialと yinitialを定義します。 オプションはデフォルトで空です。
-
parametersは
微分方程式の定義の中で使われるパラメータとその数値のリストを定義します。
パラメータの名前と値は、コンマで分離された組
name=valueの列を持つ文字列で与えなければいけません。 -
slidersはスライダーボタンを使って対話的に変更されるパラメータと
それらのパラメータの変動範囲のリストです。
パラメータの名前と範囲は、コンマで分離された要素
name=min:maxの列を持つ文字列で与えなければいけません。 - xfunは方向場の上にセミコロンで分離された表示される xの関数の列を持つ文字列を定義します。 これらの関数は Maximaではなく Tclでパースされます。
- xには2つの数が続かなければいけません。 2つの数は水平軸上で表示される最小値と最大値を設定します。 もし水平軸上の変数が xでないなら、 このオプションは水平軸上の変数名を持たなければいけません。 デフォルトの水平範囲は -10から 10です。
- yには 2つの数が続かなければいけません。 2つの数は垂直軸上で表示される最小値と最大値を設定します。 もし垂直軸上の変数が yでないなら、 このオプションは垂直軸上の変数名を持たなければいけません。 デフォルトの垂直範囲は -10から 10です。
- xaxislabelは水平軸を特定するのに使われます。 デフォルト値は一番目の状態変数名です。
- yaxislabelを垂直軸を特定するのに使われます。 デフォルト値は二番目の状態変数名です。
例:
-
微分方程式 y' = exp(-x) + yの方向場と
(2, -0.1)を通過する解を表示するために:
(%i1) plotdf(exp(-x)+y,[trajectory_at,2,-0.1])$
-
方程式 diff(y,x) = x - y^2の方向場と初期条件
y(-1) = 3の解を得るために以下のコマンドを使うことができます:
(%i1) plotdf(x-y^2,[xfun,"sqrt(x);-sqrt(x)"], [trajectory_at,-1,3], [direction,forward], [y,-5,5], [x,-4,16])$グラフは関数 y = sqrt(x)も表示します。
-
以下の例は、2つの方程式 dz/dt = vと
dv/dt = -k*z/mで定義される調和振動子の方向場と、
(z,v) = (6,0)を通る積分曲線を、
(kは 2に固定で) mの値を対話的に変えられるスライダーと一緒に、
表示します。
(%i1) plotdf([v,-k*z/m], [z,v], [parameters,"m=2,k=2"], [sliders,"m=1:5"], [trajectory_at,6,0])$
-
Duffing方程式 m*x"+c*x'+k*x+b*x^3 = 0の方向場をプロットするために変数
y=x'を導入し、以下のように使います:
(%i1) plotdf([y,-(k*x + c*y + b*x^3)/m], [parameters,"k=-1,m=1.0,c=0,b=1"], [sliders,"k=-2:2,m=-1:1"],[tstep,0.1])$
-
質量 mの値を変更するのに使うことができるスライダーと一緒に
与えられた初期条件の解と減衰振り子の方向場と
時間の関数として2つの状態変数のプロットを一緒に:
(%i1) plotdf([w,-g*sin(a)/l - b*w/m/l], [a,w], [parameters,"g=9.8,l=0.5,m=0.3,b=0.05"], [trajectory_at,1.05,-9],[tstep,0.01], [a,-10,2], [w,-14,14], [direction,forward], [nsteps,300], [sliders,"m=0.1:1"], [versus_t,1])$
Categories: Differential equations · Plotting · Numerical methods