85. to_poly_solve

85.1 Functions and Variables for to_poly_solve

パッケージ to_polyと to_poly_solveは実験的なものです; これらのパッケージの関数の仕様は変更の可能性があり、 これらのパッケージの関数のいくつかは他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

Barton Willis (University of Nebraska at Kearneyの数学科の教授)が to_polyと to_poly_solveパッケージと これらのパッケージのための英語のユーザードキュメンテーションを書きました。

Operator: %and

演算子 %andは整理化(simplifying)非短絡論理積です。 Maximaは %and式を trueか falseか論理的に同値ですが整理された式に整理します。 演算子 %andは結合的で可換でべき等的です。 そして、 %andが名詞形を返す時、 %andの引数は非冗長なソートされたリストを形成します; 例えば、

(%i1) a %and (a %and b); (%o1) a %and b

もし積の引数の1つが 明示的にもう一つの引数の否定なら、 %andは falseを返します:

(%i2) a %and (not a); (%o2) false

積のいずれかのメンバーが falseなら、 たとえ他のメンバーが明白に非ブーリアンでも積は falseに整理されます; 例えば、

(%i3) 42 %and false; (%o3) false

inequation(すなわち、不等もしくは等式)の %and式の任意の引数は Fourier消去パッケージを使って整理されます。 Fourier消去整理器は すべてでないですがいくつかの非線形 inequationを線形 inequationに変換するプリプロセッサを持ちます; 例えば、 Fourier消去コードは abs(x) + 1 > 0を trueに整理します。だから、

(%i4) (x < 1) %and (abs(x) + 1 > 0); (%o4) x < 1

注釈

• オプション変数 prederrorは %and式の整理を変えません。
• 演算子の優先順位エラーを避けるため、 演算子 %and, %orと notを含む複合式は完全に括弧でくくらなくてはいけません。
• Maxima演算子 andと orはどちらも短絡的です。 なので andは結合的でなかったり可換ではなかったりします。

制限 積 %andはinequationを 大域的にではなく局所的に整理します。 これは以下のような積は falseに整理されないことを意味します。

(%i5) (x < 1) %and (x > 1); (%o5) (x > 1) %and (x < 1)

また、 Fourier消去コードは事実データベースを無視します。

(%i6) assume(x > 5); (%o6) [x > 5] (%i7) (x > 1) %and (x > 2); (%o7) (x > 1) %and (x > 2)

最終的に、同値の線形 inequationに容易に変換されない非線形 inequationは整理されません。

%or上に %andを分配するためのサポートはありません; %and上に論理否定を分配するサポートもありません。

利用のためには `load(to_poly_solve)'

関連関数 %or, %if, and, or, not

状況 演算子 %andは実験的です; この関数の仕様は変更の可能性があり、 その機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

演算子: %if (bool, a, b)

演算子 %ifは整理化条件文です。 条件 boolはブーリアン値でなければいけません。 条件が trueの時、二番目の引数を返します; 条件が falseの時、三番目の引数を返します; その他の場合、名詞形を返します。

Maxima inequations (不等式か等式)はブーリアン値ではありません; 例えば、 Maximaは 5 < 6を trueに整理 しませんし、 5 = 6を falseに整理しません; しかしながら、 %if文への条件の文脈では、 Maximaは 自動的に inequationの真値を決定しようとします。 例:

(%i1) f : %if(x # 1, 2, 8); (%o1) %if(x - 1 # 0, 2, 8) (%i2) [subst(x = -1,f), subst(x=1,f)]; (%o2) [2, 8]

もし条件が inequationを含むなら、 Maximaは Fourier消去パッケージを使ってそれを整理します。

注釈

• もし条件が明白に非ブーリアンなら、 Maximaは名詞形を返します:

(%i3) %if(42,1,2); (%o3) %if(42, 1, 2)

• Maxima演算子 ifは n項演算子ですが、演算子 %ifは n項演算子ではないです。

制限 Fourier消去コードは 同値の線形 inequationに容易に変換可能な非線形 inequationだけを 整理します。

利用には: `load(to_poly_solve)'

状況: 演算子 %ifは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

演算子: %or

演算子 %orは整理化非短絡論理和です。 Maximaは %or式を trueか falseか論理的に同値ですが整理された式に整理します。 演算子 %orは結合的で可換でべき等です。 そして %orが名詞形を返す時、 %orの引数は非冗長なソートされたリストを形成します; 例えば、

(%i1) a %or (a %or b); (%o1) a %or b

もし和のメンバーの１つが明示的に他のメンバーの否定なら、 %orは trueを返します:

(%i2) a %or (not a); (%o2) true

もし和の任意のメンバーが trueなら、 たとえ和の他のメンバーが明白に非ブーリアンでも和は trueに整理されます。 例えば

(%i3) 42 %or true; (%o3) true

inequation(不等式か等式)である %or式の任意の引数は Fourier消去パッケージを使って整理されます。 Fourier消去コードは abs(x) + 1 > 0を trueに整理します。 なので、

(%i4) (x < 1) %or (abs(x) + 1 > 0); (%o4) true

注釈

• オプション変数 prederrorは %or式の整理を変更しません。
• 演算子 %and, %or, notを含む複合式は括弧でくくらなければいけません; これらの演算子の結合力は期待と一致しないことがあります。
• Maxima演算子 andと orはどちらも短絡的です。 なので orは結合的でないか可換でないかです。

制限 和 %orはinequationを 大域的にではなく、局所的に整理します。 これは以下のような和は trueに整理されないことを意味します。

(%i1) (x < 1) %or (x >= 1); (%o1) (x > 1) %or (x >= 1)

更に Fourier消去コードは事実データベースを無視します:

(%i2) assume(x > 5); (%o2) [x > 5] (%i3) (x > 1) %and (x > 2); (%o3) (x > 1) %and (x > 2)

最終的に、同値の線形 inequationに容易に変換されない非線形 inequationは整理されません。

両方とも falseである項を探すアルゴリズムは弱いものです; また、%and上に %orを分配するためのサポートはありません; %or上に論理否定を分配するサポートもありません。

利用のためには `load(to_poly_solve)'

関連関数 %or, %if, and, or, not

状況 演算子 %orは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: complex_number_p (x)

もし引数が a + %i * b, a, %i b, %iのいずれかなら、 述語論理 complex_number_pは trueを返します。 ここで aと bは有理数か(多倍長浮動小数点数を含む)浮動小数点数です; 他のすべての入力に対して、 complex_number_pは falseを返します; 例えば

(%i1) map('complex_number_p,[2/3, 2 + 1.5 * %i, %i]); (%o1) [true, true, true] (%i2) complex_number_p((2+%i)/(5-%i)); (%o2) false (%i3) complex_number_p(cos(5 - 2 * %i)); (%o3) false

関連関数 isreal_p

利用するには `load(to_poly_solve)'

状況 関数 complex_number_pは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: compose_functions (l)

関数コール compose_functions(l)は リスト lの中の関数の合成をラムダ形を返します。 関数は右から 左へ適用されます; 例えば

(%i1) compose_functions([cos, exp]); %g151 (%o1) lambda([%g151], cos(%e )) (%i2) %(x); x (%o2) cos(%e )

関数リストが空のとき、恒等関数を返します:

(%i3) compose_functions([]); (%o3) lambda([%g152], %g152) (%i4) %(x); (%o4) x

注釈

• Maximaがリストメンバーがシンボルやラムダ形でないか決める時、 (compose_functionsではなく) funmakeがエラーをシグナルします:

(%i5) compose_functions([a < b]); funmake: first argument must be a symbol, subscripted symbol, string, or lambda expression; found: a < b #0: compose_functions(l=[a < b])(to_poly_solve.mac line 40) -- an error. To debug this try: debugmode(true);

• 名前の衝突を避けるために、独立変数は関数 new_variableが決めます。

  (%i6) compose_functions([%g0]); (%o6) lambda([%g154], %g0(%g154)) (%i7) compose_functions([%g0]); (%o7) lambda([%g155], %g0(%g155))

  独立変数が違っても、 Maximaはこれらのラムダ形が意味的に等しいことを演繹できます:

  (%i8) is(equal(%o6,%o7)); (%o8) true

利用するには `load(to_poly_solve)'

状況 関数 compose_functionsは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: dfloat (x)

関数 dfloatは floatに似ていますが、 floatが IEEE 倍精度浮動小数点数に評価するのを失敗した時、 関数 dfloatは rectformを適用します; 例えば

(%i1) float(4.5^(1 + %i)); %i + 1 (%o1) 4.5 (%i2) dfloat(4.5^(1 + %i)); (%o2) 4.48998802962884 %i + .3000124893895671

注釈

• 式の直交形は 数値評価には不完全で合わないかもしれません-例えば、 直交形は不必要に浮動小数点数の差(桁落ち)を含むかもしれません。
• 識別子 floatは(デフォルト値が falseの)オプション変数であり かつ関数名です。

関連関数 float, bfloat

利用するには `load(to_poly_solve)'

状況 関数 dfloatは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: elim (l, x)

関数 elimは 集合もしくはリスト l内の等式から 集合もしくはリスト x内の変数を消去します。 xのメンバーそれぞれはシンボルでなければいけません; lのメンバーは等式か零に等しいと仮定される式であり得ます。

関数 elimは2つのリストのリストを返します; 一番目は変数が消去された式のリストです; 二番目はピボットのリストです; 二番目のリストは elimが変数を消去するのに使った式のリストです。

以下は線形方程式を消去する例です:

(%i1) elim(set(x + y + z = 1, x - y - z = 8, x - z = 1), set(x,y)); (%o1) [[2 z - 7], [y + 7, z - x + 1]]

xと yの消去は一つの等式 2 z - 7 = 0をもたらします; 等式 y + 7 = 0と z - z + 1 = 1がピボットとして使われました。 これらの等式から3つの変数すべての消去は、線形系を三角化します:

(%i2) elim(set(x + y + z = 1, x - y - z = 8, x - z = 1), set(x,y,z)); (%o2) [[], [2 z - 7, y + 7, z - x + 1]]

もちろん、等式は線形である必要はありません:

(%i3) elim(set(x^2 - 2 * y^3 = 1, x - y = 5), [x,y]); 3 2 (%o3) [[], [2 y - y - 10 y - 24, y - x + 5]]

ユーザーは変数が消去される順序を制御しません。 確かに、アルゴリズムは最良のピボットと最良の消去順序を選ぼうとする発見的方法を使います。

注釈

• 関連関数 eliminateと違い、等式の数が変数の数と等しい時、関数 elimは solveを呼び出しません。
• 関数 elimは終結式を適用することで機能します; オプション変数 resultantは Maximaがどのアルゴリズムを使うか決めます。 sqfrを使って、 Maximaはそれぞれの終結式を因数分解し、多重零点を抑制します。
• elimは多項式方程式の非線形一式を三角化します; 三角化された集合の解集合は 三角化されていない集合の解集合よりも大きいかもしれません。 例えば、、 三角化された方程式は見せかけの解を持ち得ます。

関連関数 elim_allbut, eliminate_using, eliminate

オプション変数 resultant

利用するには `load(to_poly)'

状況 関数 elimは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: elim_allbut (l, x)

この関数は、 等式のリスト l内のリスト x内の変数を 除いて変数すべてを消去することを除いて、 elimに似ています。

(%i1) elim_allbut([x+y = 1, x - 5*y = 1],[]); (%o1) [[], [y, y + x - 1]] (%i2) elim_allbut([x+y = 1, x - 5*y = 1],[x]); (%o2) [[x - 1], [y + x - 1]]

利用するには `load(to_poly)'

オプション変数 resultant

関連関数 elim, eliminate_using, eliminate

状況 関数 elim_allbutは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: eliminate_using (l, e, x)

eをピボットとして使って、 lの中の等式のリストか集合からシンボル xを消去します。 関数 eliminate_usingは集合を返します。

(%i1) eq : [x^2 - y^2 - z^3 , x*y - z^2 - 5, x - y + z]; 3 2 2 2 (%o1) [- z - y + x , - z + x y - 5, z - y + x] (%i2) eliminate_using(eq,first(eq),z); 3 2 2 3 2 (%o2) {y + (1 - 3 x) y + 3 x y - x - x , 4 3 3 2 2 4 y - x y + 13 x y - 75 x y + x + 125} (%i3) eliminate_using(eq,second(eq),z); 2 2 4 3 3 2 2 4 (%o3) {y - 3 x y + x + 5, y - x y + 13 x y - 75 x y + x + 125} (%i4) eliminate_using(eq, third(eq),z); 2 2 3 2 2 3 2 (%o4) {y - 3 x y + x + 5, y + (1 - 3 x) y + 3 x y - x - x }

オプション変数 resultant

関連関数 elim, eliminate, elim_allbut

利用するには `load(to_poly)'

状況 関数 elimimate_usingは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: fourier_elim ([eq1, eq2, …], [var1, var, …])

Fourier消去は Gauss消去の線形 inequation(等式か不等式)に関する類似物です。 関数コール fourier_elim([eq1, eq2, ...], [var1, var2, ...])は 線形 inequationsのリスト [eq1, eq2, ...]上の変数 [var1, var2, ...]に関する Fourier消去です; 例えば

(%i1) fourier_elim([y-x < 5, x - y < 7, 10 < y],[x,y]); (%o1) [y - 5 < x, x < y + 7, 10 < y] (%i2) fourier_elim([y-x < 5, x - y < 7, 10 < y],[y,x]); (%o2) [max(10, x - 7) < y, y < x + 5, 5 < x]

最初に xを、次に yを消去することは xの下限と上限―yに依存します―をもたらし、 そして yの下限と上限ーそれらは数ですーをもたらします。 他の順序での消去は x依存の yの下限と上限、 そして xの数値的下限と上限を与えます。

必要な時、 fourier_elimは inequationのリストの論理和を返します:

(%i3) fourier_elim([x # 6],[x]); (%o3) [x < 6] or [6 < x]

解集合が空の時、 fourier_elimは emptysetを返し、 解集合が実数すべての時、 fourier_elimは universalsetを返します; 例えば

(%i4) fourier_elim([x < 1, x > 1],[x]); (%o4) emptyset (%i5) fourier_elim([minf < x, x < inf],[x]); (%o5) universalset

非線形 inequationに対して、 fourier_elimは(幾分)整理された inequationsのリストを返します:

(%i6) fourier_elim([x^3 - 1 > 0],[x]); 2 2 (%o6) [1 < x, x + x + 1 > 0] or [x < 1, - (x + x + 1) > 0] (%i7) fourier_elim([cos(x) < 1/2],[x]); (%o7) [1 - 2 cos(x) > 0]

inequationのリストの代わりに、 fourier_elimの一番目の引数は論理和か論理積であるかもしれません:

(%i8) fourier_elim((x + y < 5) and (x - y >8),[x,y]); 3 (%o8) [y + 8 < x, x < 5 - y, y < - -] 2 (%i9) fourier_elim(((x + y < 5) and x < 1) or (x - y >8),[x,y]); (%o9) [y + 8 < x] or [x < min(1, 5 - y)]

関数 fourier_elimは inequation演算子 <, <=, >, >=, #, =をサポートします。

Fourier消去コードは 絶対値や最小、最大関数を含むいくつかの非線形 inequationを 線形 inequationに変換するプリプロセッサを持ちます． 加えて、プリプロセッサは線形項の積か商であるいくつかの式を扱います:

(%i10) fourier_elim([max(x,y) > 6, x # 8, abs(y-1) > 12],[x,y]); (%o10) [6 < x, x < 8, y < - 11] or [8 < x, y < - 11] or [x < 8, 13 < y] or [x = y, 13 < y] or [8 < x, x < y, 13 < y] or [y < x, 13 < y] (%i11) fourier_elim([(x+6)/(x-9) <= 6],[x]); (%o11) [x = 12] or [12 < x] or [x < 9] (%i12) fourier_elim([x^2 - 1 # 0],[x]); (%o12) [- 1 < x, x < 1] or [1 < x] or [x < - 1]

利用するには `load(fourier_elim)'

関数: isreal_p (e)

述語論理 isreal_pは、 Maximaが eが実数線全体上で実数値であることを 決められる時 trueを返します; Maximaが実数線の空でないある部分集合上で eが実数値でないことを決められる時 falseを返します; 他の場合、名詞形を返します。

(%i1) map('isreal_p, [-1, 0, %i, %pi]); (%o1) [true, true, false, true]

Maxima変数は実と仮定されます; たとえば

(%i2) isreal_p(x); (%o2) true

関数 isreal_pは事実データベースを検査します:

(%i3) declare(z,complex)$ (%i4) isreal_p(z); (%o4) isreal_p(z)

制限 頻繁すぎるほど isreal_pは falseを返すことができる時に名詞形を返します; 対数函数は実数線全体で実数値ではありません。 だから isreal_p(log(x))は falseを返すべきです; しかしながら

(%i5) isreal_p(log(x)); (%o5) isreal_p(log(x))

利用するには `load(to_poly_solve)'

関連関数 complex_number_p

状況 関数 isreal_pは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: new_variable (type)

%[z,n,r,c,g]kという形のユニークなシンボルを返します。 ここで kは整数です typeに許される値は integer, natural_number, real, natural_number, generalです。 (自然数(natural number)は 非負整数を意味します; なので零は自然数です 自然数の定義のすべてではありませんがいくつかは零を除外します。)

typeが許される値の１つでない時、 typeは generalにデフォルト設定されます。 整数、自然数、複素数に対して、 Maximaは自動的にこの情報を事実データベースに追加します。

(%i1) map('new_variable, ['integer, 'natural_number, 'real, 'complex, 'general]); (%o1) [%z144, %n145, %r146, %c147, %g148] (%i2) nicedummies(%); (%o2) [%z0, %n0, %r0, %c0, %g0] (%i3) featurep(%z0, 'integer); (%o3) true (%i4) featurep(%n0, 'integer); (%o4) true (%i5) is(%n0 >= 0); (%o5) true (%i6) featurep(%c0, 'complex); (%o6) true

注釈 一般に、new_variableの引数はクォートすべきです。 クォートは以下に似たエラーを防ぎます。

(%i7) integer : 12$ (%i8) new_variable(integer); (%o8) %g149 (%i9) new_variable('integer); (%o9) %z150

関連関数 nicedummies

利用するには `load(to_poly_solve)'

状況 関数 new_variableは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: nicedummies

関数 nicedummiesは new_variableが導入した式の中の変数を零から再インデックスします;

(%i1) new_variable('integer) + 52 * new_variable('integer); (%o1) 52 %z136 + %z135 (%i2) new_variable('integer) - new_variable('integer); (%o2) %z137 - %z138 (%i3) nicedummies(%); (%o3) %z0 - %z1

関連関数 new_variable

利用するには `load(to_poly_solve)'

状況 関数 nicedummiesは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: parg (x)

関数 pargは複素偏角関数 cargの整理化バージョンです; 例えば

(%i1) map('parg,[1,1+%i,%i, -1 + %i, -1]); %pi %pi 3 %pi (%o1) [0, ---, ---, -----, %pi] 4 2 4

一般に非定数入力に対して pargは名詞形を返します;例えば

(%i2) parg(x + %i * sqrt(x)); (%o2) parg(x + %i sqrt(x))

signを使って入力が正の実数か負の実数か決めることができる時 pargは非定数入力に対して非名詞形を返します。 以下は2つの例です:

(%i3) parg(abs(x)); (%o3) 0 (%i4) parg(-x^2-1); (%o4) %pi

注釈 sign関数は 複素数と宣言された変数 (declare(x,complex))を ほとんど無視します; 複素数と宣言された変数に対して、 pargは間違った値を返す可能性があります; 例えば

(%i1) declare(x,complex)$ (%i2) parg(x^2 + 1); (%o2) 0

Related function carg, isreal_p

利用するには `load(to_poly_solve)'

状況 関数 pargは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: real_imagpart_to_conjugate (e)

関数 real_imagpart_to_conjugateは realpartと imagpartをすべて conjugateを含む代数的に同値な式に置き換えます。

(%i1) declare(x, complex)$ (%i2) real_imagpart_to_conjugate(realpart(x) + imagpart(x) = 3); conjugate(x) + x %i (x - conjugate(x)) (%o2) ---------------- - --------------------- = 3 2 2

利用するには `load(to_poly_solve)'

状況 関数 real_imagpart_to_conjugateは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: rectform_log_if_constant (e)

関数 rectform_log_if_constantは log(c)の形の項をすべて rectform(log(c))に変換します。 ここで cは宣言された定数式か明示的に宣言された定数です。

(%i1) rectform_log_if_constant(log(1-%i) - log(x - %i)); log(2) %i %pi (%o1) - log(x - %i) + ------ - ------ 2 4 (%i2) declare(a,constant, b,constant)$ (%i3) rectform_log_if_constant(log(a + %i*b)); 2 2 log(b + a ) (%o3) ------------ + %i atan2(b, a) 2

利用するには `load(to_poly_solve)'

状況 関数 rectform_log_if_constantは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他のMaxima関数にマージされるかもしれません。

関数: simp_inequality (e)

関数 simp_inequalityは inequationの論理積と論理和にいくつかの整理を適用します。

制限 関数 simp_inequalityは少なくとも2つの点で制限されます; 第一に整理が局所的です; 例えば

(%i1) simp_inequality((x > minf) %and (x < 0)); (%o1) (x>1) %and (x<1)

第二に simp_inequalityは事実データベースを参照しません:

(%i2) assume(x > 0)$ (%i3) simp_inequality(x > 0); (%o3) x > 0

利用するには `load(fourier_elim)'

状況 関数 simp_inequalityは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: standardize_inverse_trig (e)

この関数は 恒等式 cot(x) = atan(1/x), acsc(x) = asin(1/x),と asec, acoth, acsch asechに関する類似の恒等式を式に適応します。 Abramowitz and Stegun, Eqs. 4.4.6 から 4.4.8までと 4.6.4から 4.6.6までを参照してください。

利用するには `load(to_poly_solve)'

状況 関数 standardize_inverse_trigは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: subst_parallel (l, e)

lが単一の等式か等式のリストの時、それぞれの等式の右辺側を左辺に代入します。 代入は並列に行われます; 例えば

(%i1) load(to_poly_solve)$ (%i2) subst_parallel([x=y,y=x], [x,y]); (%o2) [y, x]

これを順にされる代入と比較します:

(%i3) subst([x=y,y=x],[x,y]); (%o3) [x, x]

関数 subst_parallelは、 subst_parallelは非アトムの代入を許すことを除いて sublisと似ています; 例えば

(%i4) subst_parallel([x^2 = a, y = b], x^2 * y); (%o4) a b (%i5) sublis([x^2 = a, y = b], x^2 * y); 2 sublis: left-hand side of equation must be a symbol; found: x -- an error. To debug this try: debugmode(true);

subst_parallelが行う代入は文字通りであり意味論的ではありません; なので subst_parallelは x * yが x^2 * yの部分式であることを認識しません

(%i6) subst_parallel([x * y = a], x^2 * y); 2 (%o6) x y

関数 subst_parallelは整理の前にすべての代入を完了します。 これは、もし整理が前に行われていたらエラーが起こるような条件式への代入を許します:

(%i7) subst_parallel([x = 0], %if(x < 1, 5, log(x))); (%o7) 5 (%i8) subst([x = 0], %if(x < 1, 5, log(x))); log: encountered log(0). -- an error. To debug this try: debugmode(true);

関連関数 subst, sublis, ratsubst

利用するには `load(to_poly_solve_extra.lisp)'

状況 関数 subst_parallelは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: to_poly (e, l)

関数 to_polyは等式 eを inequation制約を伴う多項式系に変換しようとします; 制約を満たす多項式系の解は等式 eの解です。 非公式には to_polyは等式 eを多項式化しようとします; 例がわかりやすいかもしれません:

(%i1) load(to_poly_solve)$ (%i2) to_poly(sqrt(x) = 3, [x]); 2 (%o2) [[%g130 - 3, x = %g130 ], %pi %pi [- --- < parg(%g130), parg(%g130) <= ---], []] 2 2

条件 -%pi/2<parg(%g130),parg(%g130)<=%pi/2は %g130が平方根関数の範囲内であることを告げます。 これが trueの時、 sqrt(x) = 3に設定された解は %g130-3,x=%g130^2に設定された解と同じです。

三角式を多項式化するには、非代数的代入の導入が必要です; これらの非代数的代入は to_polyが返す三番目のリスト内で返されます; 例えば

(%i3) to_poly(cos(x),[x]); 2 %i x (%o3) [[%g131 + 1], [2 %g131 # 0], [%g131 = %e ]]

数字 1が変数リストのメンバーでない限り定数項は多項式化されません; 例えば

(%i4) to_poly(x = sqrt(5),[x]); (%o4) [[x - sqrt(5)], [], []] (%i5) to_poly(x = sqrt(5),[1,x]); 2 (%o5) [[x - %g132, 5 = %g132 ], %pi %pi [- --- < parg(%g132), parg(%g132) <= ---], []] 2 2

根の 1つとして sqrt(5) + sqrt(7)を持つ多項式を生成するには、以下のコマンドを使います。

(%i6) first(elim_allbut(first(to_poly(x = sqrt(5) + sqrt(7), [1,x])), [x])); 4 2 (%o6) [x - 24 x + 4]

関連関数 to_poly_solve

利用するには `load(to_poly)'

状況: 関数 to_polyは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

関数: to_poly_solve (e, l, [options])

関数 to_poly_solveは等式 eを変数 lについて解こうとします。 等式 eは単一の式か式の集合もしくはリストでありえます; 同様に lは単一のシンボルかシンボルの集合のリストでありえます; eのメンバーが明示的に等式でない時(例えば x^2 -1)、 ソルバは式は 0に等しいと仮定します。

to_poly_solveの基本戦略は 入力を多項式形に変換し、 多項式系上でalgsysを呼ぶことです。 内部的には、 to_poly_solveは algexactを trueに設定します。 algexactのデフォルト置を変えるには、 'algexact=falseを to_poly_solveの引数リストに追加してください。

to_poly_solveが解集合を決定できる時、解集合のそれぞれのメンバーは %unionオブジェクト内のリストです:

(%i1) load(to_poly_solve)$ (%i2) to_poly_solve(x*(x-1) = 0, x); (%o2) %union([x = 0], [x = 1])

to_poly_solveが解集合を決定できない時 %solve名詞形が返されます。(この場合、警告が印字されます。)

(%i3) to_poly_solve(x^k + 2* x + 1 = 0, x); Nonalgebraic argument given to 'to_poly' unable to solve k (%o3) %solve([x + 2 x + 1 = 0], [x])

%solve名詞形への代入は時々解に帰着します。

(%i4) subst(k = 2, %); (%o4) %union([x = - 1])

特に三角等式の場合、ソルバは時々任意整数の導入を必要とします。 これらの任意整数は %zXXXという形を持ちます。 ここで XXXは整数です; 例えば

(%i5) to_poly_solve(sin(x) = 0, x); (%o5) %union([x = 2 %pi %z33 + %pi], [x = 2 %pi %z35])

これらの変数を零から再インデックスするには nicedummiesを使います:

(%i6) nicedummies(%); (%o6) %union([x = 2 %pi %z0 + %pi], [x = 2 %pi %z1])

時折、ソルバは %cXXXという形の任意複素数か %rXXXという形の任意実数を導入します。 関数 nicedummiesはこれらの識別子を零から再インデックスします。

解集合は時々 論理積、論理和、含意に関してそれぞれ %andか, %or, %ifを含む様々な論理演算子の整理化バージョンを含みます; 例えば

(%i7) sol : to_poly_solve(abs(x) = a, x); (%o7) %union(%if(isnonnegative_p(a), [x = - a], %union()), %if(isnonnegative_p(a), [x = a], %union())) (%i8) subst(a = 42, sol); (%o8) %union([x = - 42], [x = 42]) (%i9) subst(a = -42, sol); (%o9) %union()

空集合は %unionによって表現されます。

関数 to_poly_solveは有理数や非有理べき、絶対値、三角関数、最小最大を含む等式の (すべてではありませんが)いくつかを解くことができます。 Lambert W 函数を使って解くことができるいくつかの等式も解くことができます; 例:

(%i1) load(to_poly_solve)$ (%i2) to_poly_solve(set(max(x,y) = 5, x+y = 2), set(x,y)); (%o2) %union([x = - 3, y = 5], [x = 5, y = - 3]) (%i3) to_poly_solve(abs(1-abs(1-x)) = 10,x); (%o3) %union([x = - 10], [x = 12]) (%i4) to_poly_solve(set(sqrt(x) + sqrt(y) = 5, x + y = 10), set(x,y)); 3/2 3/2 5 %i - 10 5 %i + 10 (%o4) %union([x = - ------------, y = ------------], 2 2 3/2 3/2 5 %i + 10 5 %i - 10 [x = ------------, y = - ------------]) 2 2 (%i5) to_poly_solve(cos(x) * sin(x) = 1/2,x, 'simpfuncs = ['expand, 'nicedummies]); %pi (%o5) %union([x = %pi %z0 + ---]) 4 (%i6) to_poly_solve(x^(2*a) + x^a + 1,x); 2 %i %pi %z81 ------------- 1/a a (sqrt(3) %i - 1) %e (%o6) %union([x = -----------------------------------], 1/a 2 2 %i %pi %z83 ------------- 1/a a (- sqrt(3) %i - 1) %e [x = -------------------------------------]) 1/a 2 (%i7) to_poly_solve(x * exp(x) = a, x); (%o7) %union([x = lambert_w(a)])

線形不等式に対して、 to_poly_solveは自動的に Fourier消去を行います:

(%i8) to_poly_solve([x + y < 1, x - y >= 8], [x,y]); 7 (%o8) %union([x = y + 8, y < - -], 2 7 [y + 8 < x, x < 1 - y, y < - -]) 2

to_poly_solveのオプション引数のそれぞれは等式でなければいけません; 一般にこれらのオプションの順序は問題になりません．

• simpfuncs = l, ここで lは函数のリストです。 lのメンバーの合成をそれぞれの解に適用します。

  (%i1) to_poly_solve(x^2=%i,x); 1/4 1/4 (%o1) %union([x = - (- 1) ], [x = (- 1) ]) (%i2) to_poly_solve(x^2= %i,x, 'simpfuncs = ['rectform]); %i 1 %i 1 (%o2) %union([x = - ------- - -------], [x = ------- + -------]) sqrt(2) sqrt(2) sqrt(2) sqrt(2)

  時々追加の整理は整理を戻すことがあります; 例えば

  (%i3) to_poly_solve(x^2=1,x); (%o3) %union([x = - 1], [x = 1]) (%i4) to_poly_solve(x^2= 1,x, 'simpfuncs = [polarform]); %i %pi (%o4) %union([x = 1], [x = %e ]

  Maximaは 関数リスト lのそれぞれのメンバーが純粋に整理であるかチェックしようとしません; 例えば

  (%i5) to_poly_solve(x^2 = %i,x, 'simpfuncs = [lambda([s],s^2)]); (%o5) %union([x = %i])

  それぞれの解を倍精度浮動小数点数に変換するには simpfunc = ['dfloat]を使います:

  (%i6) to_poly_solve(x^3 +x + 1 = 0,x, 'simpfuncs = ['dfloat]), algexact : true; (%o6) %union([x = - .6823278038280178], [x = .3411639019140089 - 1.161541399997251 %i], [x = 1.161541399997251 %i + .3411639019140089])

• use_grobner = true このオプションを使うと 解を企てる前に関数 poly_reduced_grobnerが等式に適用されます 主として、このオプションは関数 algsysの弱みに対する応急措置を提供します。 以下はそんな応急措置の例です:

  (%i7) to_poly_solve([x^2+y^2=2^2,(x-1)^2+(y-1)^2=2^2],[x,y], 'use_grobner = true); sqrt(7) - 1 sqrt(7) + 1 (%o7) %union([x = - -----------, y = -----------], 2 2 sqrt(7) + 1 sqrt(7) - 1 [x = -----------, y = - -----------]) 2 2 (%i8) to_poly_solve([x^2+y^2=2^2,(x-1)^2+(y-1)^2=2^2],[x,y]); (%o8) %union()

• maxdepth = k, ここで kは正の整数です。 この関数はソルバの最大再帰深さを制御します。 maxdepthのデフォルト値は 5です。 再帰深さを越えた時、ソルバはエラーをシグナルします:

  (%i9) to_poly_solve(cos(x) = x,x, 'maxdepth = 2); Unable to solve Unable to solve (%o9) %solve([cos(x) = x], [x], maxdepth = 2)

• parameters = l, ここで lはシンボルのリストです。 ソルバはリスト lのメンバーすべてに有効な解を返そうとします; 例えば:

  (%i10) to_poly_solve(a * x = x, x); (%o10) %union([x = 0]) (%i11) to_poly_solve(a * x = x, x, 'parameters = [a]); (%o11) %union(%if(a - 1 = 0, [x = %c111], %union()), %if(a - 1 # 0, [x = 0], %union()))

  (%o2)で、ソルバはダミー変数を導入しました; これらのダミー変数を再インデックスするには、関数 nicedummiesを使います:

  (%i12) nicedummies(%); (%o12) %union(%if(a - 1 = 0, [x = %c0], %union()), %if(a - 1 # 0, [x = 0], %union()))

f(a) = f(b)という形の等式を解くために to_poly_solveはハッシュ配列 one_to_one_reduceに記憶されたデータを使います。 割り当て one_to_one_reduce['f,'f] : lambda([a,b], a=b)は to_poly_solveに f(a) = f(b)の解集合がa=bの解集合に等しいことを告げます; 例えば

(%i13) one_to_one_reduce['f,'f] : lambda([a,b], a=b)$ (%i14) to_poly_solve(f(x^2-1) = f(0),x); (%o14) %union([x = - 1], [x = 1])

さらに一般的に、割り当て one_to_one_reduce['f,'g] : lambda([a,b], w(a, b) = 0は to_poly_solveに f(a) = f(b)の解集合が w(a,b) = 0の解集合に等しいことを告げます; 例えば

(%i15) one_to_one_reduce['f,'g] : lambda([a,b], a = 1 + b/2)$ (%i16) to_poly_solve(f(x) - g(x),x); (%o16) %union([x = 2])

加えて、f(a) = bという形の等式を解くために関数 to_poly_solveはハッシュ配列 function_inverseに記憶されたデータを使います。 割り当て function_inverse['f] : lambda([s], g(s))は to_poly_solveに f(x) = bに設定された解が x = g(b)に設定された解に等しいことを知らせます; 2つの例:

(%i17) function_inverse['Q] : lambda([s], P(s))$ (%i18) to_poly_solve(Q(x-1) = 2009,x); (%o18) %union([x = P(2009) + 1]) (%i19) function_inverse['G] : lambda([s], s+new_variable(integer)); (%o19) lambda([s], s + new_variable(integer)) (%i20) to_poly_solve(G(x - a) = b,x); (%o20) %union([x = b + a + %z125])

注釈

• 解く変数はシンボルである必要はありません; fullratsubstが適切に代入できる時、 解く変数は非シンボルであり得ます:

(%i1) to_poly_solve([x^2 + y^2 + x * y = 5, x * y = 8], [x^2 + y^2, x * y]); 2 2 (%o1) %union([x y = 8, y + x = - 3])

• 複素共役を含む等式に対して、ソルバは自動的に共役等式を追加します; 例えば

(%i1) declare(x,complex)$ (%i2) to_poly_solve(x + (5 + %i) * conjugate(x) = 1, x); %i + 21 (%o2) %union([x = - -----------]) 25 %i - 125 (%i3) declare(y,complex)$ (%i4) to_poly_solve(set(conjugate(x) - y = 42 + %i, x + conjugate(y) = 0), set(x,y)); %i - 42 %i + 42 (%o4) %union([x = - -------, y = - -------]) 2 2

• 絶対値関数を含む等式に対して、 to_poly_solveは 絶対値の引数が複素数値か決めるため事実データベースに問い合わせます。

  (%i1) to_poly_solve(abs(x) = 6, x); (%o1) %union([x = - 6], [x = 6]) (%i2) declare(z,complex)$ (%i3) to_poly_solve(abs(z) = 6, z); (%o3) %union(%if((%c11 # 0) %and (%c11 conjugate(%c11) - 36 = 0), [z = %c11], %union()))

  これはソルバが事実データベースを参照する唯一の状況です。 例えば、もし解く変数が整数と宣言されていたら、 to_poly_solveはこの宣言を無視します。

Relevant option variables algexact, resultant, algebraic

関連関数 to_poly

利用するには `load(to_poly_solve)'

状況: 関数 to_poly_solveは実験的です; 仕様は変更の可能性があり、 機能は他の Maxima関数にマージされるかもしれません。

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