高速フーリエ変換

目的

離散フーリエ変換を$O(n\log{n})$で行ないます。
離散フーリエ変換とは多項式$f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$を$\hat{f}(t)=\sum_{i=0}^{n-1}f(\eta_n^i)t^i$に変換する操作のことです。
ここで、$\eta_n=\exp(2\pi\sqrt{-1}/n)$です。
$\eta_n$を$\eta_n^{-1}$で置き換えて離散フーリエ変換を行なうことを離散逆フーリエ変換といいます。
離散フーリエ変換と逆フーリエ変換を組み合わせると$O(n\log{n})$で$n$次の多項式$f(x),g(x)$の積$f(x)g(x)$が$O(n\log{n})$で求まります。

計算量

$O(n\log n)$

使い方

Complex[] fft(Complex[] a, boolean rev)
rev=trueのとき多項式$f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a[i]x^i$を離散フーリエ変換します。
rev=falseのとき多項式$f(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a[i]x^i$を離散逆フーリエ変換します。
Complex[] mul(int[] a, int[] b)
多項式$f(x)=a[i]x^i$と$g(x)=b[i]x^i$の積$f(x)g(x)$をreturnします。

ソースコード

static Complex[] mul(int[] a, int[] b) {
    int n = 1;
    while (n < a.length + b.length)
	n *= 2;
    Complex[] ac = new Complex[n];
    Complex[] bc = new Complex[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
	ac[i] = new Complex(0, 0);
	bc[i] = new Complex(0, 0);
    }
    for (int i = 0; i < a.length; ++i) {
	ac[i].re = a[i];
    }
    for (int i = 0; i < b.length; ++i) {
	bc[i].re = b[i];
    }
    ac = fft(ac, false);
    bc = fft(bc, false);
    for (int i = 0; i < ac.length; ++i) {
	ac[i] = ac[i].mul(bc[i]);
    }
    ac = fft(ac, true);
    for (int i = 0; i < ac.length; ++i) {
	ac[i].refont color=#006636> /= n;
	ac[i].cofont color=#006636> /= n;
    }
    return ac;

}

static Complex[] fft(Complex[] a, boolean rev) {
    int n = a.length;
    if (n == 1)
	return a;
    int c = 0;
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
	int j;
	for (j = n >> 1; j > (c ^= j); j >>= 1)
	    ;
	if (c > i) {
	    Complex tmp = a[c];
	    a[c] = a[i];
	    a[i] = tmp;
	}
    }

    for (int d = 1; d < n; d <<= 1) {
	for (int j = 0; j < d; ++j) {
	    Complex mul = exp(2 * Math.PI / (2 * d) * (rev ? -1 : 1) * j);
	    for (int pos = 0; pos < n; pos += 2 * d) {
		double ure = a[pos + j].re;
		double uco = a[pos + j].co;
		double vre = a[pos + j + d].re * mul.re - a[pos + j + d].co * mul.co;
		double vco = a[pos + j + d].co * mul.re + a[pos + j + d].re * mul.co;
		a[pos + j].re = ure + vre;
		a[pos + j].co = uco + vco;
		a[pos + j + d].re = ure - vre;
		a[pos + j + d].co = uco - vco;
	    }
	}
    }
    return a;
}

static class Complex {
    double re, co;

    public Complex(double re, double co) {
	this.re = re;
	this.co = co;
    }

    Complex add(Complex o) {
	return new Complex(re + o.re, co + o.co);
    }

    Complex subtract(Complex o) {
	return new Complex(re - o.re, co - o.co);
    }

    Complex mul(Complex o) {
	return new Complex(re * o.re - co * o.co, re * o.co + o.re * co);
    }
}

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yukicoder No.206 数の積集合を求めるクエリ